强网杯 2022 复现

复现一下前几年的强网杯练练手，马上强网杯就要开赛了，好好加油备赛吧＼＼\٩( ‘ω’ )و //／／

Crypto

ASR

题目：

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
from Crypto.Util.number import getPrime
from secret import falg
pad = lambda s:s + bytes([(len(s)-1)%16+1]*((len(s)-1)%16+1))

n = getPrime(128)**2 * getPrime(128)**2 * getPrime(128)**2 * getPrime(128)**2
e = 3

flag = pad(flag)
print(flag)
assert(len(flag) >= 48)
m = int.from_bytes(flag,'big')
c = pow(m,e,n)

print(f'n = {n}')
print(f'e = {e}')
print(f'c = {c}')

'''
n = 8250871280281573979365095715711359115372504458973444367083195431861307534563246537364248104106494598081988216584432003199198805753721448450911308558041115465900179230798939615583517756265557814710419157462721793864532239042758808298575522666358352726060578194045804198551989679722201244547561044646931280001
e = 3
c = 945272793717722090962030960824180726576357481511799904903841312265308706852971155205003971821843069272938250385935597609059700446530436381124650731751982419593070224310399320617914955227288662661442416421725698368791013785074809691867988444306279231013360024747585261790352627234450209996422862329513284149
'''

分析：
已知 $n=p_1^2p_2^2p_3^2p_4^2$，且 $p_1,p_2,p_3,p_4$ 都是较小的素数，尝试使用 factordb 或 yafu 直接分解 n，发现 factordb 可以直接分解，我们现在便得到了 $p_i$，但是 e=3，尝试直接求解 d 发现 phi 和 e 不互素，看来并不能直接求解。
既然我们已经知道了 $p_i$，那我们就可以利用数论中的求解方法来求 m。
首先要分别对 $x^3 \equiv c \mod p_i$ 进行有限域开方得到 x，然后再使用 Hensel 引理将 x 的值提升到模 $p_i^2$ 下，之后我们便可以使用 CRT 进行求解，就能得到候选值，挨个尝试，寻找含有 b'flag{' 的便是 flag。

exp：

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
from Crypto.Util.number import long_to_bytes
from sympy.ntheory.modular import crt
from sympy.ntheory.residue_ntheory import nthroot_mod
from itertools import product
import gmpy2

n = 8250871280281573979365095715711359115372504458973444367083195431861307534563246537364248104106494598081988216584432003199198805753721448450911308558041115465900179230798939615583517756265557814710419157462721793864532239042758808298575522666358352726060578194045804198551989679722201244547561044646931280001
e = 3
c = 945272793717722090962030960824180726576357481511799904903841312265308706852971155205003971821843069272938250385935597609059700446530436381124650731751982419593070224310399320617914955227288662661442416421725698368791013785074809691867988444306279231013360024747585261790352627234450209996422862329513284149

#factordb 分解
p1 = 218566259296037866647273372633238739089
p2 = 223213222467584072959434495118689164399
p3 = 225933944608558304529179430753170813347
p4 = 260594583349478633632570848336184053653
ps = [p1, p2, p3, p4]

roots_p2 = []
for p in ps:
    sols = nthroot_mod(c % p, 3, p, all_roots=True)
    lifts = []
    a = c % (p*p)
    for r in sols:
        #Hensel引理：r' = r + t*p, 其中 t ≡ ((a - r^3)/p) * (3 r^2)^(-1) (mod p)
        r3 = pow(r, 3, p*p)
        delta = ((a - r3) % (p*p)) // p 
        t = (delta * gmpy2.invert((3 * r * r) % p, p)) % p
        lifts.append((r + t * p) % (p*p))
    roots_p2.append(lifts)

#CRT
modules = [p*p for p in ps]
candidates = []
for i in product(*roots_p2):
    m, M = crt(modules, list(i))
    m = int(m % M)
    if pow(m, e, n) == c:
        candidates.append(m)

for m in candidates:
    b = long_to_bytes(m)
    if b"flag{" in b:
        print(b)
        #print(m)

Factor

题目：

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
#encoding:utf-8
from Crypto.Util.number import *
from gmpy2 import *
from random import randint
from flag import flag

def gen1():
	r = 2
	while True:
		p2 = getPrime(1792)
		p1 = getPrime(1792)

		q1 = getPrime(512)
		q2 = getPrime(512)

		if (abs(p1-p2) < (p1//(2*r*q1*q2))):
			n1, n2 = (p1**r)*q1, (p2**r)*q2
			break

	phi1 = (p1**(r-1))*(p1-1)*(q1-1)
	phi2 = (p2**(r-1))*(p2-1)*(q2-1)
	while True:
		e1 = randint(5, (p1-1)*(q1-1))
		e2 = randint(5, (p2-1)*(q2-1))
		if gcd(e1, e2) == 1 and gcd(phi1, e1) == 1 and gcd(phi2, e2) == 1:
			break
	return n11, n12, e11, e12


def gen2():
	r = 7
	while True:
		p = getPrime(512)
		q =	getPrime(512)
		N = (p**r)*q
		if len(bin(N)) == 4096:
			break

	idx = (r*(r-1)) / ((r+1)*(r+1))
	delta = int(pow(mpz(N), idx))
	phi = (p**(r-1))*(p-1)*(q-1)

	while True:
		d1 = getPrime(int(2048*idx)//2)
		d2 = getPrime(int(2048*idx)//2)
		if abs(d1-d2) < delta:
			m1 = invert(d1, phi)
			m2 = invert(d2, phi)
			break

	e2 = 0x10001
	return n2, e2, m1, m2

def gen3():
	r = 7
	while True:
		p = getPrime(512)
		q =	getPrime(512)
		N = (p**r)*q
		phi = (p**(r-1))*(p-1)*(q-1)

		if len(bin(N))-2 == 4096:
			break

	idx = (r*(r-1)) / ((r+1)*(r+1))
	delta = int(pow(mpz(N), idx))

	while True:
		b = getRandomNBitInteger(int(2048*idx)//2)
		a = getRandomNBitInteger(int(2048*idx)//2)
		if a*b < delta:
			e = invert(a, phi)*b
			return n3, e3, b


n11, n12, e11, e12 = gen1()
print(f"n11={n11}\nn12={n12}\ne11={e11}\ne12={e12}\n")
n2, e2, m1, m2 = gen2()
print(f"n2={n2}\ne2={e2}\n")
n3, e3, b = gen3()
print(f"n3={n3}\ne3={e3}\n")

m3 = bytes_to_long(flag)
c11 = powmod(m1, e11, n11)
c12 = powmod(m2, e12, n12)
c2 = powmod(b, e2, n2)
c3 = powmod(m3, e3, n3)
print(f"c11={c11}\nc12={c12}\nc2={c2}\nc3={c3}\n")
'''
n11=801049932940568005269978912396585741498810389425615966036828877784238116634177290247194019425111606811005728521368879065336038221361037062407029836155148874719789714345603547779284558101833801155509762818376470874215789574939002212274399950433269775325144015468620263028557804618774240232988157961712628677901130814703917513004114547234375629747176834581166306552311075522669403347828095831520693563291249869832390698646691647204371133362254846234990175138047928703289833460734235302093916147489509206061923877623300596194317059884824322527532662470348274079800781120104946546063500763852622187404608639542858285661288293918912184354236687975919510300221932074135531028314170475917110204254042336116619335841213418990605590620842511615815443114612333881430920769002933370887494558640833005339906706603497809846863863967391543647049224309556936909768179259581851520214669904560467640473144481633920438487615788689262961741053146610554997224861331949716721056553499531186695425439163222802917813140266513735841447717418846360096652592844940362932171019143434080184728093326143821165097895058935372215708948088248596585127475770021962501262915274497478428868130455122612016408381607561200802267038869516896665387576895570245272035575637
n12=635401970340205725139325006504978344512744926958688031423448003992072769931808217486709574151492230879374574313457662436423263437792389711379687512056391117410807565492548718691166183372633151644917135272259770997096195518489056319350258673723095417922153182423913759272893696867426193704479752772511081457729513843682588951499551132432923147997238597538055902932123792252593514225328196541483451747314048080824405530742533473914329294346486691684904100406972073037050089861816604505650042953778360621934380815999541183067585498606053857125775979915077329566722531830089714823979965934190338538564188253271016367299890015449611141166780048763403252309160517164569110740561584100839212138661881615351382946813818078899882595313362934594951895560189003438775450675343590147821186953526262224973333962454561275321925151619178204499342339749637758100126893330994252902926509705617882239610380420830791088907378397226817514095468815228186716220057075095711894070032344613244803934541318573847029365563159918970404057137270884587905766828750387753130065274147902379993224780149663600462492281891320702134153853359393588902750423972068679293373333869389393970353760507436913233657422185531482023237384247535554666481760197851108297145147371
e11=1898839980562048754607069073527844852132536432440793106124181406514770178066775988232362054809850074774981836898118651469424148725970708199461113088705044905633592578936333918328544505910996746428679299419879472444790941363558025887620570856598548320246426354974395765243741646121743413447132297230365355148066914830856904433750379114692122900723772114991199979638987571559860550883470977246459523068862898859694461427148626628283198896659337135438506574799585378178678790308410266713256003479022699264568844505977513537013529212961573269494683740987283682608189406719573301573662696753903050991812884192192569737274321828986847640839813424701894578472933385727757445011291134961124822612239865
e12=1262647419018930022617189608995712260095623047273893811529510754596636390255564988827821761126917976430978175522450277907063247981106405519094560616378241247111698915199999363948015703788616554657275147338766805289909261129165025156078136718573006479030827585347458143645738353716189131209398056741864848486818076440355778886993462012533397208330925057305502653219173629466948635110352752162442552541812665607516753186595817376029707777599029040724727499952161261179707271814405907165207904499722122779096230563548011491932378429654764486855147873135769116637484240454596231092684424572258119768093562747249251518965380465994055049411715353547147466711949391814550591591830515262296556050946881

n2=209798341155088334158217087474227805455138848036904381404809759100627849272231840321985747935471287990313456209656625928356468120896887536235496490078123448217785939608443507649096688546074968476040552137270080120417769906047001451239544719039212180059396791491281787790213953488743488306241516010351179070869410418232801398578982244984544906579574766534671056023774009163991804748763929626213884208260660722705479782932001102089367261720194650874553305179520889083170973755913964440175393646890791491057655226024046525748177999422035469428780228224800114202385209306803288475439775037067014297973202621118959024226798935588827359265962780792266516120013602384766460619793738405476219362508944225007365127768741191310079985425349292613888185378948854602285379329682053663283534930182589905986063348509703027498270111412063194971956202729807710253369312175636837558252924035002153389909587349043986253518050303628071319876207392440085675892353421232158925122721273720564784886530611286461575045181073744696415657043278123662980166364494583141297996445429477446442693717498789391918530672770193730629928408766563592081857706608049076318165712479742423149330311238462044666384622153280310696667586565906758451118241914402257039981388209
e2=65537

n3=539779851369541956878655738599584730199799866957191805784596190682932284216781781433367450841202917758999300635019369629627621029957135109806205877317954671312041249493462048283611940752235036153024920172209763260723728345918562258401803973624430150143563078517485996070862532682695228590709019451174548520135142052216785774589096706631010293690859363524584240662502290912412366366114571976050857239915691266377257797199583543940504695517331512813468837128344612227973709974625418257243011036826241599265375741977853552204640800449679679351666009764297016524814036295707311913711955324055690490892097177271718850857268982130811714517356073266905474635370690445031512184247179039751734276906533177939993769044135143389748416635981226449566039039202521305851567296884751935162651063209779647359922622084851547605090230221057349511482738300221222563908357379545905837110168948295030747460300104202323692732549831403834387939156877086852393515817984772384147449841124275061609701453997579569931391166586163299940486204581696722731952467570857217406030804590055255431828403195798003509083922294733709507134156466158642941338493323430671502043066148246348074878064089651235355282144209668143249348243220714471988019011613749340243917652821
e3=8179300978753084587812861894047395225516049110376948812109811319430275614612773726672345893359691900281432484382670047044697374818043512731533402576374645405477207239801498428774783768163880078495448747421425078521981578408638790336528372019271073712013371141939808017049399434858687299480461753638164719404612128939787055797762174745092074547412183349192156638711750872083313795551439465507724807626674514935170104573715458782366469587138508845980490673890245713729782917089910271980557159592807350504157192913530007199510144004848020221181558472160543018733124225266127379373751910439604459368078652499029070936707349862139053913745186413782066470461478961703013591655136140060879250067379283913798867648758171004535775565306842444545755351202796833177560656564652632975685912935281581268141803696686952259539945588609591385807620108279333498170028167338690235117003515264281843953984997958878272347778561933726792473981855755454522886321669676790813189668084373153897754540290867346751033567500922477317530445967753955221454744946208555394588111484610700789566547507402309549957740815535069057837915204852490930168843605732632328017129154852857227895362549146737618906180651623216848500491438142456250653458053922622240299736136335179639180898730269690699965799644757774472147210271111150769048976871249731156387939260749192370361488285775377622944817570292095201906142567403539151179209316853493906909989301225903409448461436855145

c11=18979511327426975645936984732782737165217332092805655747550406443960209507493506811471688957217003792679188427155591583024966608843371190136274378868083075515877811693937328204553788450031542610082653080302874606750443090466407543829279067099563572849101374714795279414177737277837595409805721290786607138569322435729584574023597293220443351227559400618351504654781318871214405850541820427562291662456382362148698864044961814456827646881685994720468255382299912036854657082505810206237294593538092338544641919051145900715456411365065867357857347860000894624247098719102875782712030938806816332901861114078070638796157513248160442185781635520426230183818695937457557248160135402734489627723104008584934936245208116232179751448263136309595931691285743580695792601141363221346329077184688857290503770641398917586422369221744736905117499140140651493031622040723274355292502182795605723573863581253354922291984335841915632076694172921289489383700174864888664946302588049384130628381766560976143458735712162489811693014419190718601945154153130272620025118408017441490090252674737105557818759190934585829634273698371996797545908125156282869589331913665938038870431655063063535672001112420959158339261862052308986374193671007982914711432579
c12=336587005671304527566745948355290412636261748969581976214239578621816863343117433524033533838636941679300497270909696775021031004312477997130741361709262822736904340641138652359632950455651920464042448022467664596484055174270895170499076347333381222768518599018520948098943626229061996126260154604038101543546588917619576702866444998578555907070990331574722135141778182631559802154493815687284077524469331290249057291163803290619701104007028836609832847351748020354798788508790258935718399783002069490123663345156902440501507117289747695510266461539019431610123351176227443612317037899257774045751487135646052309277098939919088029284437221840182769808850184827681307611389353392683707516141736067793897378911235819049432542758429901945202632117089595899280390575706266239252841152490534353760118231918190110043319877744119083811214707593122757409240645257409097436061825613686773916466122693168971062418046703969144004779270391320645495586024342668002497155358623795942692477164489475917351003149045087283510728981096449890130735055015075557614253867698702479920619299919816768972581273507837309179450374634916567083251630203067065663910073926990517108921490442919372774170201239734064819301693527366233007925670043499415100789027665
c2=18352572608055902550350386950073774530453857897248738030380007830701135570310622004368605208336922266513238134127496822199799761713782366178177809597137102612444147565578155260524747439899150012223027218489946124086276814899675563837669559795153349686434242738207425653079514376089070980797596457151965772460109519623572502109592612394316680202287712465721767341302234806130244551387296133051760893033194962691942040228545508895009195291106297581470066545991352668826197346830561010198417527057944507902143965634058848276017283478933675052993657822322866778994956205033704582047618324071045349072526540250707463112668579342537349567247810715604220690215313641329522674080146047291570752430231923566302463491877377617044768978997438596643458475128936850994934029476030136643053997549253792076260765459166618369864942681056864815996253315631930002738854235841120321870075261782250357506436825550088826469396508045912258303652912217151127280959435741419961721418428605515096160344688795655562889755165362006775317188009008288782691705879510655892181975003485714604340542378477388225736316682379616676770234557939471098919647053799313777248678455620231721202780830980063824003076308811540534492317719811588898727134190545533822501681653
c3=113097822337683973761068913398570777162211043704088253732500045618770280334319497174908657828372816818344430304314992760410247741225285170975119344962728883084314382093407445567724674775086423808679124143380073906159023182353116556175251427048715466914368972746661938211846262612414049036821553068430149530397389927209475908905748728402722287875974303298260579839357610962198145974153609818939841880084892796820949226354126424023144300953584658958900737493704530725894948802258740332090822797815745616247879170037794873059391625680745994045522420168248552864215035136318711240256011217929372430302003068882829637056296413462078222453765071094277727760527662423010417144554652783429899139309180017349156600053882338180319473460877576898373222480215735280046214925463242092830060830764299787309912687294672319845054775281463150375545716818434962456139485501224661520991156961587158843064393883274763714930309353593180897123378717852182761518709151878662808890356934477932099818218743384674756674800089177733447066489275506387382342429495897972218764782517198727316942685748481956118012927027254979181519862451112593068440686462293151078537886822555211870303467014484443432209106264020502334805536091587252238173816637270028678636848763
'''

分析：
本题的结构还比较清晰，有三个生成函数，分别为
gen1()：

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
def gen1():
	r = 2
	while True:
		p2 = getPrime(1792)
		p1 = getPrime(1792)

		q1 = getPrime(512)
		q2 = getPrime(512)

		if (abs(p1-p2) < (p1//(2*r*q1*q2))):
			n1, n2 = (p1**r)*q1, (p2**r)*q2
			break

	phi1 = (p1**(r-1))*(p1-1)*(q1-1)
	phi2 = (p2**(r-1))*(p2-1)*(q2-1)
	while True:
		e1 = randint(5, (p1-1)*(q1-1))
		e2 = randint(5, (p2-1)*(q2-1))
		if gcd(e1, e2) == 1 and gcd(phi1, e1) == 1 and gcd(phi2, e2) == 1:
			break
	return n11, n12, e11, e12

p1,p2 均为 1792 bits 素数，q1,q2 均为 512 bits 素数。
$|p1-p2|<\frac{p1}{2r\times q1q2}$
$n1=p1^2q1,n2=p2^2q2$
$phi1=p1(p1-1)(q1-1)$
$phi2=p2(p2-1)(q2-1)$
$e1\in {5,(p1-1)(q1-1)},e2\in { 5,(p2-1)(q2-1)}$

gen2()：

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
def gen2():
	r = 7
	while True:
		p = getPrime(512)
		q =	getPrime(512)
		N = (p**r)*q
		if len(bin(N)) == 4096:
			break

	idx = (r*(r-1)) / ((r+1)*(r+1))
	delta = int(pow(mpz(N), idx))
	phi = (p**(r-1))*(p-1)*(q-1)

	while True:
		d1 = getPrime(int(2048*idx)//2)
		d2 = getPrime(int(2048*idx)//2)
		if abs(d1-d2) < delta:
			m1 = invert(d1, phi)
			m2 = invert(d2, phi)
			break

	e2 = 0x10001
	return n2, e2, m1, m2

$p,q$ 均为 512 bits 素数，$N=p^6q$，且 $N$ 为 4096 bits。
$idx =\frac{21}{32}$
$\delta=int(N^{\frac{21}{32}})$
$phi=p^6(p-1)(q-1)$
$d1,d2$ 都是 672 bits 素数，并保证 $|d1-d2|<\delta$
$m1\equiv d1^{-1} \mod phi,m2\equiv d2^{-1} \mod phi$
$e2 = 65537$

gen3()

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
def gen3():
	r = 7
	while True:
		p = getPrime(512)
		q =	getPrime(512)
		N = (p**r)*q
		phi = (p**(r-1))*(p-1)*(q-1)

		if len(bin(N))-2 == 4096:
			break

	idx = (r*(r-1)) / ((r+1)*(r+1))
	delta = int(pow(mpz(N), idx))

	while True:
		b = getRandomNBitInteger(int(2048*idx)//2)
		a = getRandomNBitInteger(int(2048*idx)//2)
		if a*b < delta:
			e = invert(a, phi)*b
			return n3, e3, b

前面与 gen2() 比较相似，但是这里的 N 为 4098 bits。
$a,b$ 都是 672 bits 整数，并保证 $ab<\delta$
$e = a^{-1} \mod phi \times b$

分析完这个生成函数之后，我们来分析主函数

1
2
3
4
5
m3 = bytes_to_long(flag)
c11 = powmod(m1, e11, n11)
c12 = powmod(m2, e12, n12)
c2 = powmod(b, e2, n2)
c3 = powmod(m3, e3, n3)

可以看到 m3 就是 flag 的整数形式。未知的量有 m1,m2,b，不用想也知道 b 是求 m3 的关键，而 m1,m2 是求 b 的关键。
因此我们要先通过 c11,c12 求出 m1,m2。
同时我们可以发现特征都是考 $N=p^rq$，其实可以搜索到论文：《New attacks on RSA with Moduli $N=p^rq$》。论文对这三种情况都有所研究，看来就是一个论文题，时间有些，我这里就不一一复现了。
复现的话更推荐看multi-power-RSA 笔记 | 独奏の小屋，更加容易理解和实现。

Study
#CTF
强网杯 2022 复现
http://ramoor.github.io/2025/10/16/强网杯 2022 复现/
作者
Ramoor
发布于
2025年10月16日
许可协议